Question

设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，S_n是

1

2

a_n²和a_n的等差中项
（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：

1

2

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式2Sn-4200＞

a 2 n

2

恒成立，试问：这样的正整数m共有多少个．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，4Sn=

a

2 n

+2an，且a_n＞0，再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项法求和，即可证得结论；
（Ⅲ）先确定集合M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．因为m∈M，可得m组成首项为2100，公差为2的等差数列，由此可得结论．

解答：（Ⅰ）证明：由已知，4Sn=

a

2 n

+2an，且a_n＞0． …（1分）
当n=1时，4a1=

a

2 1

+2a1，解得a₁=2．    …（2分）
当n≥2时，有4Sn-1=

a

2 n-1

+2an-1．
于是4Sn-4Sn-1=

a

2 n

-

a

2 n-1

+2an-2an-1，即4an=

a

2 n

-

a

2 n-1

+2an-2an-1．
于是

a

2 n

-

a

2 n-1

=2an+2an-1，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1）．
因为a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=2（n≥2）．
故数列{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列，且a_n=2n．…（4分）
（Ⅱ）证明：因为a_n=2n，则

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（5分）
所以

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．…（7分）
因为1-

1

n+1

随着n的增大而增大，所以当n=1时取最小值

1

2

．
故原不等式成立．                                           …（10分）
（Ⅲ）解：由2Sn-4200＞

a 2 n

2

，得2n（n+1）-4200＞2n²，所以n＞2100．  …（12分）
由题设，M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．
因为m∈M，所以m=2100，2102，…，2998均满足条件，且这些数组成首项为2100，公差为2的等差数列．
设这个等差数列共有k项，则2100+2（k-1）=2998，解得k=450．
故集合M中满足条件的正整数m共有450个．                  …（16分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．