题目内容
设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,Sn是an2和an的等差中项.(Ⅰ)证明数列{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)证明
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S1 |
1 |
S2 |
1 |
Sn |
(Ⅲ)设集合M={m|m=2k,k∈Z,且1000≤k<1500},若存在m∈M,使对满足n>m的一切正整数n,不等式Sn-1005>
| ||
2 |
分析:(Ⅰ)当n=1时求得a1;当n≥2时根据2an=2Sn-2Sn-1化简整理得an-an-1=1判断数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
(Ⅱ)把(Ⅰ)求得的an代入Sn进而可根据裂项法进行求和得
+
+…+
=2(1-
)<2;原式得证.
(Ⅲ)Sn-1005>
,求得n的范围.进而可得集合M,依据m∈M,所以m=2010,2012,,2998均满足条件,且这些数组成首项为2010,公差为2的等差数列,进而求得k
(Ⅱ)把(Ⅰ)求得的an代入Sn进而可根据裂项法进行求和得
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S1 |
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S2 |
1 |
Sn |
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n+1 |
(Ⅲ)Sn-1005>
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解答:解:(Ⅰ)由已知,2Sn=an2+an,且an>0.,当n=1时,2a1=a12+a1,解得a1=1.
当n≥2时,有2Sn-1=an-12+an-1.于是2Sn-2Sn-1=an2-an-12+an-an-1,即2an=an2-an-12+an-an-1
.于是an2-an-12=an+an-1,即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1.
因为an+an-1>0,所以an-an-1=1(n≥2).
故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,且an=n.
(Ⅱ)因为an=n,则Sn=
=2(
-
).
所以
+
++
=2[(1-
)+(
-
)++(
-
)]=2(1-
)<2;
(Ⅲ)由Sn-1005>
,得
-1005>
,即
>1005,所以n>2010.
由题设,M={2000,2002,,2008,2010,2012,,2998},
因为m∈M,所以m=2010,2012,,2998均满足条件,且这些数组成首项为2010,公差为2的等差数列.
设这个等差数列共有k项,则2010+2(k-1)=2998,
解得k=495.
故集合M中满足条件的正整数m共有495个.
当n≥2时,有2Sn-1=an-12+an-1.于是2Sn-2Sn-1=an2-an-12+an-an-1,即2an=an2-an-12+an-an-1
.于是an2-an-12=an+an-1,即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1.
因为an+an-1>0,所以an-an-1=1(n≥2).
故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,且an=n.
(Ⅱ)因为an=n,则Sn=
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n(n+1) |
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n |
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n+1 |
所以
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S1 |
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S2 |
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Sn |
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n |
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n+1 |
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n+1 |
(Ⅲ)由Sn-1005>
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n(n+1) |
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n2 |
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n |
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由题设,M={2000,2002,,2008,2010,2012,,2998},
因为m∈M,所以m=2010,2012,,2998均满足条件,且这些数组成首项为2010,公差为2的等差数列.
设这个等差数列共有k项,则2010+2(k-1)=2998,
解得k=495.
故集合M中满足条件的正整数m共有495个.
点评:本题主要考查等差数列的性质特别是等差数列的通项公式.考查了学生分析问题和解决问题的能力.
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