Question

14．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程是ρ=2，矩形ABCD内接于曲线C₁，A，B两点的极坐标分别为（2，$\frac{π}{6}$）和（2，$\frac{5π}{6}$），将曲线C₁上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线C₂．
（1）写出C，D的直角坐标及曲线C₂的参数方程；
（2）设M为C₂上任意一点，求|MA|²+|MB|²+|MC|²+|MD|²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用对称性可得：C$（2，\frac{7π}{6}）$，D$（2，\frac{11π}{6}）$，分别化为直角坐标．曲线C₁的极坐标方程是ρ=2，利用互化公式可得直角坐标方程．设曲线C₂．上的任意一点坐标P（x，y），曲线C₁的任意一点P′（x′，y′），则$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=\frac{{y}^{′}}{2}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=x}\\{{y}^{′}=2y}\end{array}\right.$．代入圆的方程可得x²+4y²=4，可得参数方程．
（2）A$（\sqrt{3}，1）$，B$（-\sqrt{3}，1）$．设M（2cosθ，sinθ）．利用两点之间的距离公式、三角函数的基本关系式及其值域即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁的极坐标方程是ρ=2，矩形ABCD内接于曲线C₁，A，B两点的极坐标分别为（2，$\frac{π}{6}$）和（2，$\frac{5π}{6}$），利用对称性可得：C$（2，\frac{7π}{6}）$，D$（2，\frac{11π}{6}）$，分别化为直角坐标：C$（-\sqrt{3}，-1）$，D$（\sqrt{3}，-1）$．
曲线C₁的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程：x²+y²=4．
设曲线C₂．上的任意一点坐标P（x，y），曲线C₁的任意一点P′（x′，y′），则$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=\frac{{y}^{′}}{2}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=x}\\{{y}^{′}=2y}\end{array}\right.$．代入（x′）²+（y′）²=4，得x²+4y²=4，其参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$．
（2）A$（\sqrt{3}，1）$，B$（-\sqrt{3}，1）$．设M（2cosθ，sinθ）．
|MA|²+|MB|²+|MC|²+|MD|²=$（2cosθ-\sqrt{3}）^{2}+（sinθ-1）^{2}$+$（2cosθ+\sqrt{3}）^{2}$+（sinθ-1）²+$（2cosθ+\sqrt{3}）^{2}$+（sinθ+1）²+$（2cosθ-\sqrt{3}）^{2}$+（sinθ+1）²
=12cos²θ+20∈[20，32]．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、圆的极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间的距离公式、三角函数的基本关系式及其值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．