Question

（本小题满分10分）已知函数

（1）若函数在处的切线方程为，求的值；

（2）讨论方程解的个数，并说明理由。

Answer 1

（1），（2）当时，方程有惟一解；当时，方程无解；当时方程有两解．

【解析】

试题分析：第一步函数在处的切线方程为，切线斜率为1，由于,则

，而，第二步由于函数定义域为，，当时，在定义域上恒大于，此时方程无解；当时，

，函数在定义域上为增函数，因为，，则，函数有唯一一个零点，所以方程有惟一解；当时，，

函数在上是减函数，在内为增函数，当时，有极小值即为最小值，最后根据最小值分大于零、等于零、小于零三种情形对应方程根的个数实施讨论，给出各种情形的答案即可；

试题解析：（1）因为： ，又在处的切线方程为

所以 解得：

（2）当时，在定义域上恒大于，此时方程无解；当时，在上恒成立， 所以在定义域上为增函数。，，所以方程有惟一解。

当时，，因为当时，，在内为减函数；当时，在内为增函数。所以当时，有极小值即为最小值

当时，，此方程无解；

当时，此方程有惟一解。

当时，，因为且，所以方程在区间上有惟一解， 又因为当时，，所以 ，所以 ，因为 ，所以 所以 方程在区间上有惟一解。所以方程在区间上有两解。

综上所述：当时，方程有惟一解；当时，方程无解；当时方程有两解。

考点：1．导数的几何意义；2．利用导数研究函数的单调性、极值、函数的零点；3．导数的应用；