Question

（本题满分16分）已知椭圆C的中心在原点，左焦点为，右准线方程为：．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若椭圆C上点到定点的距离的最小值为1，求的值及点的坐标；

（3）分别过椭圆C的四个顶点作坐标轴的垂线，围成如图所示的矩形，A、B是所围成的矩形在轴上方的两个顶点．若P、Q是椭圆C上两个动点，直线OP、OQ与椭圆的另一交点分别为、，且直线OP、OQ的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求四边形的面积是否为定值，并说明理由．

Answer 1

（1）（2），（3）四边形的面积为定值

【解析】

试题分析：（1）左焦点为，所以 ，右准线方程为：

，由此解出 ，写出方程（2）最值问题转化为函数问题，构造 的函数，即

，然后求最值使其等于1，注意分类讨论

（3）设，根据斜率之积是定值，在椭圆上，找出 坐标间的关系；写出所在直线方程，求 到直线的距离 ，根据面积公式写出面积，

试题解析：【解析】
（1）设椭圆的方程为：，

由题意得：，解得：， 2分

∴，∴椭圆的标准方程：； 4分

（2）设，则

对称轴：， 6分

①当，即，时，，

解得：，不符合题意，舍； 8分

②当，即，时，，

解得：或； ；

综上：，； 10分

（3）由题意得：四条垂线的方程为，，则，

∴

设，，则①，.

∵点、在椭圆C上 ∴，

平方①得：，即. 12分

①若，则、、、分别是直线、与椭圆的交点，∴四个点的坐标为：

，，，∴四边形的面积为；

②若，则直线的方程可设为：，化简得：

，

所以到直线的距离为， 14分

所以的面积

.

根据椭圆的对称性，故四边形的面积为，即为定值.

综上：四边形的面积为定值. 16分

考点：直线与椭圆的最值定值问题