Question

8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为（-2，0）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意，由函数的奇偶性以及x＞0时函数的解析式可得x＜0时函数的解析式，对于不等式f（x）＞x，分2种情况讨论：①当x＞0时，不等式f（x）＞x为x²-x＞x，即x²-2x＞0，②当x＜0时，不等式f（x）＞x为-x²-x＞x，即x²+2x＜0，分别求出每种情况下不等式的解集，综合即可得答案．

解答 解：根据题意，设x＜0，则-x＞0，f（-x）=（-x）²-（-x）=x²+x，
又由函数f（x）为奇函数，则f（x）=-f（x）=-（x²+x）=-x²-x，
即当x＜0时，f（x）=-x²-x，
分2种情况讨论：
①当x＞0时，不等式f（x）＞x为x²-x＞x，即x²-2x＞0，
解可得x＜0或x＞2，
则此时不等式的解集为（2，+∞），
②当x＜0时，不等式f（x）＞x为-x²-x＞x，即x²+2x＜0，
解可得-2＜x＜0，
则此时不等式的解集为（-2，0），
综合可得：不等式f（x）＞x的解集为（-2，0）∪（2，+∞），
故答案为：（-2，0）∪（2，+∞）．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，关键是利用奇偶性求出函数在x＜0时的解析式．