Question

已知函数f(x)=sinxcosx+

3

cos2x-

3

2

的最大值为a，最小值为b，若向量（a，b）与向量（cosθ，sinθ）垂直，则锐角θ的值为（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  3

• C．

  π

  4

• D．

  π

  8

Answer 1

分析：可将f（x）=sinx•cosx+

3

cos²x-

3

2

转化为：f（x）=

1

2

sin2x+

3 (1+cos2x)

2

-

3

2

=sin（2x+

π

3

），其最值a=1，b=-1；向量（a，b）与向量（cosθ，sinθ）垂直⇒acosθ+bsinθ=0，代入a、b的值，可求得锐角θ的值．

解答：解：∵f（x）=sinx•cosx+

3

cos²x-

3

2

=

1

2

sin2x+

3 (1+cos2x)

2

-

3

2

=sin（2x+

π

3

），
∴f（x）_max=a=1，f（x）_min=b=-1；
又向量（a，b）与向量（cosθ，sinθ）垂直，
∴acosθ+bsinθ=0，即cosθ-sinθ=0，
∴sinθ=cosθ，又θ为锐角，
∴θ=

π

4

．
故选C．

点评：本题考查三角函数中的二倍角的正、余弦公式，辅助角公式及数量积判断两个平面向量的垂直关系，关键是熟练应用三角函数公式进行化简求值，属于中档题．