题目内容

(附加题)
(Ⅰ)设非空集合S={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时有x2∈S,给出下列四个结论:
①若m=2,则l=4
②若m=-
1
2
,则
1
4
≤l≤1

③若l=
1
2
,则-
2
2
≤m≤0
④若m=1,则S={1},
其中正确的结论为
②③④
②③④

(Ⅱ)已知函数f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)
,其中a,b∈R.若对于任意的a∈[
1
2
,2]
,f(x)≤10在x∈[
1
4
,1]
上恒成立,则b的取值范围为
(-∞,
7
4
]
(-∞,
7
4
]
分析:(Ⅰ)根据题中条件:“当x∈S时,有x2∈S”对三个命题一一进行验证即可:对于①可举反例;对于②可得
l≥
1
4
l2≤l
;对于③若l=
1
2
,则
m2≥m
m≤
1
2
m2
1
2
;对于④,有
l≥1
l2≤l
,最后解出不等式,根据解出的结果与四个命题的结论对照,即可得出正确结果有几个.
(Ⅱ)把f(x)看作关于a的一次函数,根据一次函数的单调性可转化为函数最值,再看作关于x的函数,利用导数判断函数的单调性,由单调性再求出最值可求结果;
解答:解:(Ⅰ)由定义:设非空集合S={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时,有x2∈S知,
符合定义的参数m的值一定大于等于1或小于等于0,惟如此才能保证m∈S时,有m2∈S即m2≥m,
符合条件的l的值一定大于等于0,小于等于1,惟如此才能保证l∈S时,有l2∈S即l2≤l,对各个命题进行判断:
对于①,若m=2,l=4,则S={x|2≤x≤4},而4∈S,但42∉S,矛盾,①错误;
对于②,若m=-
1
2
,则m2=
1
4
∈S,则
l≥
1
4
l2≤l
,解之可得
1
4
≤l≤1,②正确;
对于③,若l=
1
2
,则
m2≥m
m≤
1
2
m2
1
2
,解之可得-
2
2
≤m≤0,③正确;
对于④,若m=1,则m2=1∈S,故必有
l≥1
l2≤l
,解得l=1,故S={1},④正确;
故答案为:②,③,④;
(Ⅱ)x+
a
x
+b可看作关于a的一次函数,当x∈[
1
4
,1]
时该一次函数递增,
则对任意a∈[
1
2
,2]
,f(x)≤10恒成立等价于x+
2
x
+b≤10,
又x∈[
1
4
,1]
时x+
2
x
+b≤10恒成立,则(x+
2
x
+b)max≤10

令g(x)=x+
2
x
+b,当x∈[
1
4
,1]
时,g′(x)=1-
2
x2
<0,
所以g(x)递减,故(x+
2
x
+b)max
=
1
4
+
2
1
4
+b
=
33
4
+b,
所以
33
4
+b≤10,解得b
7
4
,即b的取值范围是(-∞,
7
4
]

故答案为:(-∞,
7
4
]
点评:本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法.属于创新题,解答的关键是对新定义的概念的正确理解,列出不等关系转化为不等式问题解决.(Ⅱ)题中,对两个参数恒成立问题,要逐个满足,先保证对任意a恒成立,再保证对任意x恒成立,分别转化为函数最值解决即可.
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