题目内容
(2012•黄山模拟)已知函数f(x)=ln2(1+x),g(x)=
.
(Ⅰ)分别求函数f(x)和g(x)的图象在x=0处的切线方程;
(Ⅱ)证明不等式ln2(1+x)≤
;
(Ⅲ)对一个实数集合M,若存在实数s,使得M中任何数都不超过s,则称s是M的一个上界.已知e是无穷数列an=(1+
)n+a所有项组成的集合的上界(其中e是自然对数的底数),求实数a的最大值.
x2 |
1+x |
(Ⅰ)分别求函数f(x)和g(x)的图象在x=0处的切线方程;
(Ⅱ)证明不等式ln2(1+x)≤
x2 |
1+x |
(Ⅲ)对一个实数集合M,若存在实数s,使得M中任何数都不超过s,则称s是M的一个上界.已知e是无穷数列an=(1+
1 |
n |
分析:(Ⅰ)f′(x)=
,g′(x)=
,则f'(0)=0,g'(0)=0,且f(0)=0,g(0)=0,由此能求出函数f(x)和g(x)的图象在x=0处的切线方程.
(Ⅱ)令函数h(x)=ln2(1+x)-
,定义域是(-1,+∞),h′(x)=
-
=
,设u(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x,则u'(x)=2ln(1+x)-2x,令v(x)=2ln(1+x)-2x,则v′(x)=
-2=
,由此能够证明ln2(1+x)≤
.(Ⅲ)由题意可知不等式 (1+
)n+a≤e对任意的n∈N*都成立,且不等式(1+
)n+a≤e等价于不等式(n+a)ln(1+
)≤1,由此能求出a的最大值.
2ln(1+x) |
1+x |
x2+2x |
(1+x)2 |
(Ⅱ)令函数h(x)=ln2(1+x)-
x2 |
1+x |
2ln(1+x) |
1+x |
x2+2x |
(1+x)2 |
2(1+x)ln(1+x)-x2-2x |
(1+x)2 |
2 |
1+x |
-2x |
1+x |
x2 |
1+x |
1 |
n |
1 |
n |
1 |
n |
解答:解:(Ⅰ)f′(x)=
,g′(x)=
,
则f'(0)=0,g'(0)=0,且f(0)=0,g(0)=0,
所以函数f(x)和g(x)的图象在x=0处的切线方程都是y=0…(3分)
(Ⅱ)令函数h(x)=ln2(1+x)-
,定义域是(-1,+∞),h′(x)=
-
=
,
设u(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x,
则u'(x)=2ln(1+x)-2x,
令v(x)=2ln(1+x)-2x,则v′(x)=
-2=
,
当-1<x<0时,v'(x)>0,v(x)在(-1,0)上为增函数,
当x>0时,v'(x)<0,v(x)在(0,+∞)上为减函数.
所以v(x)在x=0处取得极大值,且就是最大值,而v(0)=0,
所以u'(x)≤0,函数u(x)在(-1,+∞)上为减函数…(5分)
于是当-1<x<0时,u(x)>u(0)=0,当x>0时,u(x)<u(0)=0,
所以,当-1<x<0时,h'(x)>0,h(x)在(-1,0)上为增函数.
当x>0时,h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)上为减函数.
故h(x)在x=0处取得极大值,且就是最大值,而h(0)=0,
所以h(x)≤0,
即ln2(1+x)-
≤0,ln2(1+x)≤
…(8分)
(Ⅲ)由题意可知不等式 (1+
)n+a≤e对任意的n∈N*都成立,
且不等式(1+
)n+a≤e等价于不等式(n+a)ln(1+
)≤1,
由1+
>1知,a≤
-n,设F(x)=
-
,x∈(0,1],
则F′(x)=-
+
=
…(10分)
由(Ⅱ)知,ln2(1+x)≤
,
即(1+x)ln2(1+x)-x2≤0,
所以F'(x)<0,x∈(0,1],
于是F(x)在(0,1]上为减函数.
故函数F(x)在(0,1]上的最小值为F(1)=
-1,
所以a的最大值为
-1…(13分)
2ln(1+x) |
1+x |
x2+2x |
(1+x)2 |
则f'(0)=0,g'(0)=0,且f(0)=0,g(0)=0,
所以函数f(x)和g(x)的图象在x=0处的切线方程都是y=0…(3分)
(Ⅱ)令函数h(x)=ln2(1+x)-
x2 |
1+x |
2ln(1+x) |
1+x |
x2+2x |
(1+x)2 |
2(1+x)ln(1+x)-x2-2x |
(1+x)2 |
设u(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x,
则u'(x)=2ln(1+x)-2x,
令v(x)=2ln(1+x)-2x,则v′(x)=
2 |
1+x |
-2x |
1+x |
当-1<x<0时,v'(x)>0,v(x)在(-1,0)上为增函数,
当x>0时,v'(x)<0,v(x)在(0,+∞)上为减函数.
所以v(x)在x=0处取得极大值,且就是最大值,而v(0)=0,
所以u'(x)≤0,函数u(x)在(-1,+∞)上为减函数…(5分)
于是当-1<x<0时,u(x)>u(0)=0,当x>0时,u(x)<u(0)=0,
所以,当-1<x<0时,h'(x)>0,h(x)在(-1,0)上为增函数.
当x>0时,h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)上为减函数.
故h(x)在x=0处取得极大值,且就是最大值,而h(0)=0,
所以h(x)≤0,
即ln2(1+x)-
x2 |
1+x |
x2 |
1+x |
(Ⅲ)由题意可知不等式 (1+
1 |
n |
且不等式(1+
1 |
n |
1 |
n |
由1+
1 |
n |
1 | ||
ln(1+
|
1 |
ln(1+x) |
1 |
x |
则F′(x)=-
1 |
(1+x)ln2(1+x) |
1 |
x2 |
(1+x)ln2(1+x)-x2 |
x2(1+x)ln2(1+x) |
由(Ⅱ)知,ln2(1+x)≤
x2 |
1+x |
即(1+x)ln2(1+x)-x2≤0,
所以F'(x)<0,x∈(0,1],
于是F(x)在(0,1]上为减函数.
故函数F(x)在(0,1]上的最小值为F(1)=
1 |
ln2 |
所以a的最大值为
1 |
ln2 |
点评:本题考查利用导数求曲线的切线方程,考查不等式的证明,考查实数的最大值的求法.考查化归与转化、分类与整合的数学思想,培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识.
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