Question

（2012•开封二模）已知函数f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c若f(A)=

3

2

，△ABC的面积S=

3

2

，a=

3

，求b+c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和的正弦、二倍角的余弦函数公式分别化简函数f（x）解析式的前两项，整理后，再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调递增区间，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到函数的单调递增区间；
（Ⅱ）由f（A）=

3

2

，可求A，由三角形的面积公式S=

1

2

bcsinA可求bc，再由余弦定理可求b+c

解答：解：（I）∵f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

．
=

3

2

sinx+

1

2

cosx+1-cosx
=

3

2

sinx-

1

2

cosx+1
∴f(x)=sin(x-

π

6

)+1，…（3分）
令2kπ-

1

2

π≤x-

π

6

≤2kπ+

1

2

π，k∈Z可得2kπ-

1

3

π≤x≤2kπ+

2π

3

单调递增区间为[2kπ-

1

3

π，2kπ+

2π

3

]，k∈Z…（6分）
（II）∵f(A)=

3

2

，
∴sin（A-

π

6

）+1=

3

2

即sin（A-

π

6

）=

1

2

∵0＜A＜π
∴A=

1

3

π
∵△ABC的面积S=

1

2

bcsin60°=

3

4

bc=

3

2

∴bc=2
∵a=

3

由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccos60°
即3=b²+c²-2=（b+c）²-6
∴b+c=3…（12分）

点评：此题考查了三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．