题目内容

设二次函数f（x）=ax2-4x+c的值域为[0，+∞），则
1
c+1
+
9
a+9
的最大值为（　　）
A、
31
25
B、
38
33
C、
6
5
D、
31
26
分析：由于二次函数f（x）=ax2-4x+c的值域为[0，+∞），所以a＞0，且△=0，从而得到a，c的关系等式，再利用a，c的关系等式解出a，把
1
c+1
+
9
a+9
转化为只含一个变量的代数式利用均值不等式进而求解．
解答：解：因为二次函数f（x）=ax2-4x+c的值域为[0，+∞），
所以
a＞0
△=16-4ac=0
?ac=4?c=
4
a
，
所以
1
c+1
+
9
a+9
=
1
4
a
+1
+
9
a+9
=
a
a+4
+
9
a+9
=
a2+18a+36
a2+13a+36
=
a2+13a+36+5a
a2+13a+36
=1+
5
a+
36
a
+13

 
由于 a＞0，a+
36
a
≥12（当且仅当a=6时取等号）
所以1+
5
a+
36
a
+13
≤
6
5
．
故答案为：C
点评：此题考查了二次函数的值域，变量的替换及利用均值不等式求最值．
练习册系列答案
相关题目
设二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（-1）=0，对于任意的实数x都有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，f（x）≤(
x+12
)2．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：a＞0，c＞0；
（3）当x∈（-1，1）时，函数g（x）=f（x）-mx，m∈R是单调的，求m的取值范围．
设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x1、x2满足0＜x1＜x2＜
1
a
，且函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，则有（　　）
A、x0≤
x1
2
B、x0＞
x1
2
C、x0＜
x1
2
D、x0≥
x1
2
设二次函数f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值．
设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足：当x=1时，f（x）取得最小值1，且f(0)=
32
．
（1）求a、b、c的值；
（2）是否存在实数m，n，使x∈[m，n]时，函数的值域也是[m，n]？若存在，则求出这样的实数m，n；若不存在，则说明理由．
设二次函数f（x）=x2+x+a（a＞0），若f（m）＜0，则有（　　）

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