题目内容
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足:当x=1时,f(x)取得最小值1,且f(0)=3 | 2 |
(1)求a、b、c的值;
(2)是否存在实数m,n,使x∈[m,n]时,函数的值域也是[m,n]?若存在,则求出这样的实数m,n;若不存在,则说明理由.
分析:(1)由已知中二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当x=1时,f(x)取得最小值1,且f(0)=
.我们可知函数的图象是开方方向朝上的抛物线且以(1,1)为顶点,且过(0,
)点,由此可以构造关于a,b,c的方程组,解方程组,即可得到答案.
(2)由(1)中的结论,我们易函数的角析式及函数的值域,进而得到n>m≥1,则f(x)在区间[m,n]上单调增,则x∈[m,n]时,函数的值域也是[m,n]可转化为方程f(x)=x,有两个不小于1的不等实根,由此可在得到对应m,n的值.
3 |
2 |
3 |
2 |
(2)由(1)中的结论,我们易函数的角析式及函数的值域,进而得到n>m≥1,则f(x)在区间[m,n]上单调增,则x∈[m,n]时,函数的值域也是[m,n]可转化为方程f(x)=x,有两个不小于1的不等实根,由此可在得到对应m,n的值.
解答:解:(1)由题意,得:
(4分)
解之得:a=
,b=-1,c=
,(7分)
(2)∴f(x)=
x2-x+
=
(x-1)2+1(8分)
从而,f(x)的单调递增区间为(1,+∞)(10分)
由f(x)取得最小值1,得1≤m<n,(11分)
所以,f(x)在区间[m,n]上单调增,(12分)
故
(13分)
即m,n是方程f(x)=x,即
x2-2x+
=0的两不小于1的不等实根,┉┉(15分)
∴m=1,n=3(16分)
|
解之得:a=
1 |
2 |
3 |
2 |
(2)∴f(x)=
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
从而,f(x)的单调递增区间为(1,+∞)(10分)
由f(x)取得最小值1,得1≤m<n,(11分)
所以,f(x)在区间[m,n]上单调增,(12分)
故
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即m,n是方程f(x)=x,即
1 |
2 |
3 |
2 |
∴m=1,n=3(16分)
点评:本题考查的知识点是二次函数的性质,函数的定义域及其求法,函数的值域,函数的最值及其几何意义,其中熟练掌握二次函数的图象和性质,以及二次函数各系数的作用是解答本题的关键.
练习册系列答案
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设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1、x2满足0<x1<x2<
,且函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,则有( )
1 |
a |
A、x0≤
| ||
B、x0>
| ||
C、x0<
| ||
D、x0≥
|