题目内容
设二次函数f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在[3,4]上至少有一个零点,求a2+b2的最小值.
分析:把等式看成关于a,b的直线方程:(x2-1)a+2xb+x-2=0,根据直线上一点(a,b)到原点的距离大于等于原点到直线的距离,得一不等式,对式子进行恰当变形后,利用函数的单调性可求得a2+b2的最小值.
解答:解:把等式看成关于a,b的直线方程:(x2-1)a+2xb+x-2=0,
由于直线上一点(a,b)到原点的距离大于等于原点到直线的距离,即
≥
,
所以a2+b2≥(
)2=
≥
,
因为x-2+
在x∈[3,4]是减函数,上述式子在x=3,a=-
,b=-
时取等号,
故a2+b2的最小值为
.
由于直线上一点(a,b)到原点的距离大于等于原点到直线的距离,即
a2+b2 |
|x-2| | ||
|
所以a2+b2≥(
x-2 |
1+x2 |
1 | ||
(x-2+
|
1 |
100 |
因为x-2+
5 |
x-2 |
2 |
25 |
3 |
50 |
故a2+b2的最小值为
1 |
100 |
点评:本题考查二次函数的性质、函数的单调性及不等式知识,考查学生灵活运用知识解决问题的能力,能力要求较高.
练习册系列答案
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设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1、x2满足0<x1<x2<
,且函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,则有( )
1 |
a |
A、x0≤
| ||
B、x0>
| ||
C、x0<
| ||
D、x0≥
|