题目内容

设二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(-1)=0,对于任意的实数x都有f(x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时,f(x)≤(
x+12
)
2

(1)求f(1)的值;
(2)求证:a>0,c>0;
(3)当x∈(-1,1)时,函数g(x)=f(x)-mx,m∈R是单调的,求m的取值范围.
分析:(1)由f(x)≤(
x+1
2
)
2
可得 f(1)≤1,由f(x)-x≥0可得 f(1)≥1,故有(1)=1.
(2)f(x)-x≥0恒成立,可得a>0,且f(0)-0≥0 恒成立,从而得到c≥0.
(3)由题意得,g(x)的对称轴在区间(-1,1)的左边或右边,即 
m-a-c
2a
≤-1,或
m-a-c
2a
≥1,解出m的取值范围.
解答:解:(1)∵二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(-1)=0,∴a+c=b,函数f(x)=ax2+(a+c)x+c.
∵当x∈(0,2)时,f(x)≤(
x+1
2
)
2
,∴f(1)≤1.
又对于任意的实数x都有f(x)-x≥0,∴f(1)-1≥0,f(1)≥1,故 f(1)=1.
(2)由题意得,f(x)-x=ax2+(a+c-1)x+c≥0恒成立,∴a>0,且f(0)-0≥0 恒成立,
∴c≥0.
综上,a>0,c≥0.
(3)∵g(x)=f(x)-mx=ax2+(a+c-m)x+c,当x∈(-1,1)时,g(x)是单调的,
m-a-c
2a
≤-1,或
m-a-c
2a
≥1,∴m≤c-a,或 m≥3a+c,
故m的取值范围为(-∞,c-a]∪[3a+c,+∞).
点评:本题考查二次函数的性质,解分式不等式,正确使用题中条件是解题的关键.
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