Question

（本小题满分12分）已知其中是自然对数的底 .
(1)若在处取得极值，求的值；
(2)求的单调区间；
(3)设，存在，使得成立，求 的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ) 。(Ⅱ) 综上所述，当时，的减区间是，
当时，的减区间是，增区间是.  (III) .

本试题主要是考查了导数在研究函数性质中的运用，求解极值和单调区间，以及证明不等式的总额和运用。
（1）.                              
由已知, 解得.
（2）因为，对于参数a大于零还是小于零，还是等于零分情况讨论得到单调性。
（3）当时,由(Ⅱ)知的最小值是；         
易知在上的最大值是，则转换为不等式组得到结论。
解： (Ⅰ) .                              
由已知, 解得.                            
经检验, 符合题意.                     ………… 3分
(Ⅱ) .
1)                       当时，在上是减函数.
2)当时，.
①                       若，即，
则在上是减函数，在上是增函数；
②若，即，则在上是减函数.   
综上所述，当时，的减区间是，
当时，的减区间是，增区间是.   ……… 7分
(III)当时,由(Ⅱ)知的最小值是；         
易知在上的最大值是；                    
注意到,
故由题设知                            
解得.故的取值范围是.              ……… 12分