题目内容
20．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（m＞0）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{7}-\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（n＞0）有相同的焦点，则m+n的最大值是（ ）| A． | 3 | B． | 6 | C． | 18 | D． | 36 |
分析 根据题意，由椭圆双曲线的几何性质，可得25-m2=7+n2，变形可得：m2+n2=18，进而由基本不等式的性质分析可得答案．
解答 解：根据题意，椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（m＞0）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{7}-\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（n＞0）有相同的焦点，
则有25-m2=7+n2，
变形可得：m2+n2=18，
又由$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}$≥（$\frac{m+n}{2}$）2，
则有（$\frac{m+n}{2}$）2≤9，
即m+n≤6，
则m+n的最大值是6；
故选：B．
点评 本题考查椭圆、双曲线的几何性质，涉及基本不等式的性质，关键是得到m2与n2的关系．
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