Question

如图所示，已知点M（a，3）是抛物线y²=4x上一定点，直线AM、BM的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A、B两个不同的点．
（1）求点M到其准线的距离；
（2）求证：直线AB的斜率为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得3²=4a，a=

9

4

，由此能求出点M到其准线的距离．
（2）设直线MA的方程为：y-3=k(x-

9

4

)，联立

y-3=k(x- 9 4 ) y2=4x

，得y2-

4

k

y+

12

k

-9=0，由已知条件推导出yA=

4

k

-3，yB=

4

-k

-3，由此能证明直线AB的斜率为定值．

解答： （1）解：∵M（a，3）是抛物线y²=4x上一定点
∴3²=4a，a=

9

4

∵抛物线y²=4x的准线方程为x=-1
∴点M到其准线的距离为：

9

4

-(-1)=

13

4

．
（2）证明：由题知直线MA、MB的斜率存在且不为0，
设直线MA的方程为：y-3=k(x-

9

4

)，
联立

y-3=k(x- 9 4 ) y2=4x

，得y2-

4

k

y+

12

k

-9=0，
∵yA+3=

4

k

，∴yA=

4

k

-3，
∵直线AM、BM的斜率互为相反数
∴直线MA的方程为：y-3=-k（x-

9

4

），
同理可得：yB=

4

-k

-3，
∴kAB=

yB-yA

xB-xA

=

yB-yA

yB2 4 - yA2 4

=

4

yB+yA

=

4

4 -k -3+ 4 k -3

=-

2

3

，
∴直线AB的斜率为定值-

2

3

．

点评：本题考查点到准线的距离的求法，考查直线的斜率这定理的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．