Question

设f(x)=2sin(

π

2

-

x

2

)sin(π+

x

2

)+cos2(

π

2

-

x

2

)-cos2(π+

x

2

)
（1）若x∈(0，

π

2

)，求f（x）的最小值；
（2）设g （x）=f(2x-

π

4

)+2m，x∈[

π

4

，

7π

8

]，若g （x）有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用诱导公式及辅助角公式对函数化简可得，f(x)=-

2

sin(x+

π

4

)，结合正弦函数的性质可求
（2）由函数g（x）有两个零点可得方程-

2

sin2x+2m=0当x∈[

π

4

，

7π

8

]时有两个解转化为y=2m与y=

2

sin2x，x∈[

π

4

，

7π

8

]图象有两个交点，从而可求．

解答：解：（1）∵f(x)=2sin(

π

2

-

x

2

)sin(π+

x

2

)+cos2(

π

2

-

x

2

)-cos2(π+

x

2

)
=-2cos

1

2

xsin

1

2

x+sin2

1

2

x-cos2

1

2

x
∴f(x)=-sinx-cosx=-

2

sin(x+

π

4

)（3分）
∵

π

4

＜x+

π

4

＜

3π

4

∴x=

π

4

，fmin=-

2

（5分）
（2）设g（x）=-

2

sin2x+2m，x∈[

π

4

，

7π

8

]（7分）
∵函数g（x）有两个零点
∴方程-

2

sin2x+2m=0当x∈[

π

4

，

7π

8

]时有两个解（9分）
∴y=2m与y=

2

sin2x，x∈[

π

4

，

7π

8

]图象有两个交点
则-

2

＜2m≤-1
∴-

2

2

＜m≤-

1

2

（12分）

点评：诱导公式、辅助角公式一直是三角函数的常用知识，而方程的零点常转化为函数的交点问题，体现了数形结合与转化的思想在解题中的应用．