Question

已知

（Ⅰ）当时，求的极大值点；

（Ⅱ）设函数的图象与函数的图象交于、两点，过线段的中点做轴的垂线分别交、于点、，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行.

Answer 1

（I）

…………………………………………2分

令h’(x)=0，则4x²+2x-1=0，

解出x₁=,  x₂= ………………………………………………3分

………4分

……… 5分

所以的极大值点为…………………………………………………6分

（II）设P、Q的坐标分别是.

则M、N的横坐标.

∴C₁在点M处的切线斜率为 ，

C₂在点N处的切线斜率为.………………………………7分

假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则，

即……………………………………………………8分

则

……………………………………………………………10分

设t=,  则…………①

令      则

∴r(t)在[1,+∞）上单调递增，故r(t)> r(1)=0.

∴，这与①矛盾，假设不成立，

故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行. ……………………12分