Question

【题目】如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M是的中点，是的中点，点在上，且满足.

（1）证明：.

（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角最大值的正切值.

（3）若平面与平面所成的二面角为，试确定P点的位置.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）以AB，AC，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即；（2）设出平面ABC的一个法向量，我们易表达出，然后利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的值，进而求出此时的正线值；（3）平面PMN与平面ABC所成的二面角为，则平面PMN与平面ABC法向量的夹角余弦值的绝对值为，代入向量夹角公式，可以构造一个关于的方程，解方程即可求出对应值，进而确定出满足条件的点P的位置．

（1）证明：如图，以AB，AC，分别为，，轴，建立空间直角坐标系．

则，，，

从而，，

，

所以．

（2）平面ABC的一个法向量为，

则（※）．

而，当最大时，最大，无意义，除外，

由（※）式，当时，，．

（3）平面ABC的一个法向量为．

设平面PMN的一个法向量为，

由（1）得．

由得，

解得，令，得，

∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为，

∴，

解得．

故点P在的延长线上，且．