Question

【题目】已知函数.

（1）当，求证；

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）将代入函数解析式，之后对函数求导，得到其单调性，从而求得其最小值为，从而证得结果.

（2）通过时，时，利用函数的单调性结合函数的零点，列出不等式即可求解的取值范围，也可以构造新函数，结合函数图象的走向得到结果.

（1）证明：当时，，

得，

知在递减，在递增，

，

综上知，当时，.

（2）法1：，，即，

令，则，

知在递增，在递减，注意到，

当时，；当时，，

且，

由函数有个零点，

即直线与函数图像有两个交点，得.

法2：由得，，

当时，，知在上递减，不满足题意；

当时，，知在递减，在递增.

，

的零点个数为，即，

综上，若函数有两个零点，则.