Question

【题目】已知椭圆 的长轴长为4，焦距为

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过动点的直线交轴与点，交于点 (在第一象限)，且是线段的中点.过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点.

（ⅰ）设直线的斜率分别为，证明为定值；

（ⅱ）求直线的斜率的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）见解析，（ⅱ）直线AB 的斜率的最小值为

【解析】试题分析：（Ⅰ）分别计算a,b即得.

（Ⅱ）（ⅰ）设，由M(0,m)，可得的坐标，进而得到直线PM的斜率，直线QM的斜率，可得为定值.

（ⅱ）设.直线PA的方程为y=kx+m，直线QB的方程为y=–3kx+m.联立应用一元二次方程根与系数的关系得到， ，进而可得应用基本不等式即得.

试题解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c.

由题意知，

所以.

所以椭圆C的方程为.

（Ⅱ）（ⅰ）设，

由M(0,m)，可得

所以直线PM的斜率，

直线QM的斜率.

此时.

所以为定值–3.

（ⅱ）设.

直线PA的方程为y=kx+m，

直线QB的方程为y=–3kx+m.

联立

整理得.

由，可得，

所以.

同理.

所以，

，

所以

由，可知k>0，

所以，等号当且仅当时取得.

此时，即，符号题意.

所以直线AB 的斜率的最小值为.