已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点分别为F1.F2.由椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成一个等边三角形．它的面积为4$\sqrt{3}$．(1)求椭圆C的方程,在椭圆上.点A.直线AB交x轴于点D.点B′为点B关于x轴的对称点.直线AB′交x轴于点E.若在y轴上存在点G(0.t).使得∠OGD=� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，由椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成一个等边三角形．它的面积为4$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动点B（m，n）（mn≠0）在椭圆上，点A（0，2$\sqrt{3}$），直线AB交x轴于点D，点B′为点B关于x轴的对称点，直线AB′交x轴于点E，若在y轴上存在点G（0，t），使得∠OGD=∠OEG，求点G的坐标．

分析（1）利用椭圆的短轴的一个端点和两个焦点构成等边三角形的三个顶点，它的面积为4$\sqrt{3}$．建立方程关系，求出a，b，即可得椭圆方程．
（2）设D（x₁，0），E（x₂，0）．由A，D，B，三点共线．得x₁=$\frac{-2\sqrt{3}m}{n-2\sqrt{3}}$．同理可得x₂=$\frac{2\sqrt{3}m}{n-2\sqrt{3}}$．又∠OGD=∠OEG，得$\frac{OD}{OG}=\frac{OG}{OE}，即O{G}^{2}=OD•OE$．由于$\frac{{m}^{2}}{16}-\frac{{n}^{2}}{12}=1$，故${t}^{2}=\frac{12}{12-{n}^{2}}×16（1-\frac{{n}^{2}}{12}）=16$．

解答解：（1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{a=2c}\\{\frac{1}{2}•2c•\sqrt{3}c=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴$a=4，b=2\sqrt{3}$，∴椭圆C的方程：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（2）设D（x₁，0），E（x₂，0）．
由A，D，B，三点共线．得$\frac{0-2\sqrt{3}}{{x}_{1}}=\frac{n-2\sqrt{3}}{m}$，即x₁=$\frac{-2\sqrt{3}m}{n-2\sqrt{3}}$．
同理可得x₂=$\frac{2\sqrt{3}m}{n-2\sqrt{3}}$．
又∵∠OGD=∠OEG，∴$\frac{OD}{OG}=\frac{OG}{OE}，即O{G}^{2}=OD•OE$．
∵-2$\sqrt{3}$$＜n＜2\sqrt{3}$，且n≠0，∴${t}^{2}=\frac{-12{m}^{2}}{{n}^{2}-12}=\frac{12{m}^{2}}{12-{n}^{2}}$，
由于$\frac{{m}^{2}}{16}-\frac{{n}^{2}}{12}=1$，∴${t}^{2}=\frac{12}{12-{n}^{2}}×16（1-\frac{{n}^{2}}{12}）=16$，
∴t=±4，点G的坐标为（0，±4）．

点评本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，方程思想是解题的关键，属于中档题．

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	A．	向右平移$\frac{π}{6}$个长度单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
	B．	向左平移$\frac{π}{18}$个长度单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{3}$倍（纵坐标不变）
	C．	向右平移$\frac{π}{18}$个长度单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
	D．	向左平移$\frac{π}{6}$个长度单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{3}$倍（纵坐标不变）

19．某产品的广告费用x（百万元）与销售额y（百万元）的统计数据如表：