Question

15．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且满足f（x+2）=f（-x），若当x∈[0，1]时，f（x）=3^x-1，则f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$10）的值为$\frac{10}{27}$．

Answer 1

分析 本题函数解析式只知道一部分，而要求的函数值的自变量不在此区间上，由题设条件知本题中所给的函数具有对称性函数，故可以利用这一性质将要求的函数值转化到区间[0，1）上求解．

解答 解：由题意定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（-x），
∴函数图象关于x=1对称，
当x∈[0，1]时，f（x）=3^x-1，log${\;}_{\frac{1}{3}}$10=-log₃10∈（-3，-2）
由此f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$10）=f（2-log₃10）=f（log₃$\frac{9}{10}$）=f（-log₃$\frac{9}{10}$）=${3}^{-lo{g}_{3}\frac{9}{10}-1}$=$\frac{1}{3}×\frac{10}{9}$=$\frac{10}{27}$．
故答案为：$\frac{10}{27}$

点评 本题考点抽象函数的应用，函数的值求法，利用函数的性质通过转化来求函数的值，是函数性质综合运用的一道好题．对于本题中恒等式的意义要好好挖掘，做题时要尽可能的从这样的等式中挖掘出信息．