Question

5．已知x=1是$f（x）=x+\frac{b}{x}+lnx$的一个极值点．
（1）求b的值；
（2）设函数$h（x）=f（x）-\frac{2+a}{x}$，若函数h（x）在区间[1，2]内单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，得到f′（1）=1-b+1=0，解出即可；（2）求出h（x）的表达式，问题转化为a≥-（x²+x）在[1，2]恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=x+\frac{b}{x}+lnx$，（x＞0），
∴f′（x）=1-$\frac{b}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
∵x=1是$f（x）=x+\frac{b}{x}+lnx$的一个极值点，
∴f′（1）=1-b+1=0，解得：b=2；
（2）由（1）得：f（x）=x+$\frac{2}{x}$+lnx，
∴$h（x）=f（x）-\frac{2+a}{x}$=x+lnx-$\frac{a}{x}$，
h′（x）=1+$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+x+a}{{x}^{2}}$，
若函数h（x）在区间[1，2]内单调递增，
则x²+x+a≥0在[1，2]恒成立，
故a≥-（x²+x）在[1，2]恒成立，
令m（x）=-（x²+x），x∈[1，2]，
m′（x）=-2x-1＜0，m（x）在[1，2]递减，
∴m（x）_max=m（1）=-2，
故a≥-2．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分离参数法求函数的最值问题，是一道中档题．