Question

3．已知函数f（x）=ax+sinx在[$\frac{π}{3}$，π]上递增，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{2}$]
• B． （-∞，-$\frac{1}{2}$）
• C． （1，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 求函数的导数，要使函数单调递增，则f′（x）≥0成立，然后求出实数a的取值范围．

解答 解：因为f（x）=sinx+ax，所以f′（x）=cosx+a．
要使函数在[$\frac{π}{3}$，π]上递增单调递增，则f′（x）≥0在[$\frac{π}{3}$，π]上成立．
即cosx+a≥0在[$\frac{π}{3}$，π]上恒成立．
所以a≥-cosx在[$\frac{π}{3}$，π]上成立，
因为在[$\frac{π}{3}$，π]上：-1≤cosx≤$\frac{1}{2}$，
所以a≥1．
故选：D．

点评 本题主要考查导数的基本运算以及利用导数研究函数的单调性，注意当函数单调递增时，f'（x）≥0恒成立，属于中档题．