Question

（Ⅰ）已知a≥b＞0，求证：2a³-b³≥2ab²-a²b．
（Ⅱ）设a，b，c，x，y，z是正数，且a²+b²+c²=10，x²+y²+z²=40，ax+by+cz=20，求

a+b+c

x+y+z

的值．

Answer 1

考点：不等式的证明,二维形式的柯西不等式

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用作差法，即可证明结论；
（Ⅱ）利用（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）=（ax+by+cz）²，（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²等号成立，即可求出

a+b+c

x+y+z

的值．

解答： （Ⅰ）证明：2a³-b³-（2ab²-a²b）=2a（a²-b²）+b（a²-b²）…（1分）
=（a²-b²）（2a+b）=（a-b）（a+b）（2a+b）…（2分）
∵a≥b＞0，∴a-b≥0，a+b＞0，2a+b＞0，
从而（a-b）（a+b）（2a+b）≥0，
即2a³-b³≥2ab²-a²b．…（5分）
（Ⅱ）因为a²+b²+c²=10，x²+y²+z²=40，ax+by+cz=20
所以（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）=（ax+by+cz）²…（6分）
又（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²等号成立
当且仅当

a

x

=

b

y

=

c

z

=t…（7分）
则a=tx，b=ty，c=tz代入a²+b²+c²=10
得t²（x²+y²+z²）=10于是t=

1

2

…（8分）
又

a

x

=

b

y

=

c

z

=

a+b+c

x+y+z

所以

a+b+c

x+y+z

=t=

1

2

…（10分）

点评：本题考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．