Question

已知f（x）=log_a|x|（a＞0，且a≠1）
（1）求f（x）的定义域；
（2）证明f（x）为偶函数；
（3）求使f（x）＞0成立的x的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数的定义和绝对值的性质即可求出，
（2）利用偶函数的定义证明即可，
（3）需要分类讨论，当a＞1时，当0＜a＜1时，解得即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_a|x|（a＞0，且a≠1），
∴|x|＞0，
∴x≠0，
∴f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）证明：∵f（x）的定义域为（-∞，-0∪（0+∞）．关于原点对称，
又f（-x）=log_a|-x|=log_a|x|=f（x），
∴f（x）为偶函数．
（3）当a＞1时，f（x）＞0，则x＜-1，或x＞1，即x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
当0＜a＜1时，f（x）＞0，则0＜|x|＜1，即x∈（-1，0）∪（0，1）．
综上所述，当a＞1时，x的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）
当0＜a＜1时，x的取值范围是（-1，0）∪（0，1）．

点评：本题主要考查了对数函数定义域，偶函数的判断，分类讨论的思想，属于基础题．