Question

设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：

(1) ab＋bc＋ca≤；

(2) ≥1.

Answer 1

证明：(1) 由a²＋b²≥2ab，b²＋c²≥2bc，c²＋a²≥2ca，得a²＋b²＋c²≥ab＋bc＋ca.

由题设得(a＋b＋c)²＝1，即a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc＋2ca＝1.

所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.

(2) 因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，

故＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，

即≥a＋b＋c.

所以≥1.