Question

已知△ABC的周长是36，且A（0，-5），B（0，5），求△ABC的顶点C的轨迹方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先根据△ABC的周长是36，且A（0，-5），B（0，5），进一步确定|AC|+|BC|=26＞|AB|，判断顶点C的轨迹是以A（0，-5），B（0，5）为焦点以原点为中心，x轴和y轴为对称轴的椭圆．进一步根据a、b、c的关系求出椭圆的方程．

解答： 解：已知△ABC的周长是36，且A（0，-5），B（0，5）
则|AB|=10，|AC|+|BC|=26＞|AB|=10
所以△ABC的顶点C的轨迹是以A（0，-5），B（0，5）为焦点，以原点为中心，以x轴和y轴为对称轴的椭圆．
椭圆方程设为：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)
令|AC|+|BC|=26=2a
解得：a=13
令|AB|=10=2c
解得：c=5
进一步解得：b²=a²-c²=169-25=144
求得△ABC的顶点C的轨迹方程为：

y2

169

+

x2

144

=1
故答案为：△ABC的顶点C的轨迹方程为：

y2

169

+

x2

144

=1

点评：本题考查的知识要点：椭圆的定义，椭圆的方程及相关的运算问题．