Question

20．若直线x+y=m与曲线$y=\sqrt{9-{x^2}}$恰有两个公共点，则m的取值范围是[3，$3\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 曲线曲线$y=\sqrt{9-{x^2}}$即 x²+y²=9（y≥0）表示一个半径为3的半圆，分类讨论求得当直线y=-x+m与曲线曲线$y=\sqrt{9-{x^2}}$恰有2个公共点时m的取值范围．

解答 解：曲线曲线$y=\sqrt{9-{x^2}}$即 x²+y²=9（y≥0）表示一个半径为3的半圆，
当直线y=-x+m经过点A（0，3）时，求得m=3，
当直线和半圆相切时，由圆心O到直线y=-x+m的距离等于半径，
可得$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=3，求得m=3$\sqrt{2}$，或m=-3$\sqrt{2}$（舍去）．
故当直线y=-x+m与曲线曲线$y=\sqrt{9-{x^2}}$恰有2个公共点时m的取值范围是：[3，$3\sqrt{2}$），
故答案为：[3，$3\sqrt{2}$）．

点评 本题主要考查了直线与圆相交的性质，考查了学生分析解决问题的能力，属于基础题．