Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，BC=

1

2

AD=1，PD=CD=2，Q为AD的中点，M为棱PC上一点．
（Ⅰ）试确定点M的位置，使得PA||平面BMQ，并证明你的结论；
（Ⅱ）若PM=2MC，求二面角P-BQ-M的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）当M为PC中点时，PA∥平面BMQ，连结AC交BQ于N，连结MN，则MN∥PA，由此能证明PA∥平面BMQ．
（Ⅱ）以点D为原点DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-BQ-M的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）当M为PC中点时，PA∥平面BMQ，…（2分）
理由如下：连结AC交BQ于N，连结MN，
因为∠ADC=90°，Q为AD的中点，
所以N为AC的中点．
当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为△PAC的中位线，…（4分）
故MN∥PA，又MN?平面BMQ，PA?平面BMQ，
所以PA∥平面BMQ．…（5分）
（Ⅱ）由题意，以点D为原点DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，…（6分）
则P（0，0，2），Q（1，0，0），B（1，2，0），…（7分）
由PM=2MC可得点M(0，

4

3

，

2

3

)，
所以

PQ

=(1，0-2)，

QB

=(0，2，0)，

QM

=(-1，

4

3

，

2

3

)，
设平面PQB的法向量为

n1

=(x，y，z)，
则

PQ • n1 =x-2z=0 QB • n1 =2y=0 ∴ x=2z y=0.

令z=1，∴

n1

=(2，0，1)，…（9分）
同理平面MBQ的法向量为

n2

=(

2

3

，0，1)，…（10分）
设二面角大小为θ，cosθ=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

7 65

65

．
∴二面角P-BQ-M的余弦值为

7 65

65

．…（12分）

点评：本题考查使得直线与平面平行的点的位置确定，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．