Question

由无理数引发的数学危机已知延续带19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割（M，N），下列选项中不可能恒成立的是（　　）

• A、M没有最大元素，N有一个最小元素
• B、M没有最大元素，N也没有最小元素
• C、M有一个最大元素，N有一个最小元素
• D、M有一个最大元素，N没有最小元素

Answer 1

考点：子集与真子集

专题：计算题,集合

分析：由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．

解答： 解：若M={x∈Q|x＜0}，N={x∈Q|x≥0}；则M没有最大元素，N有一个最小元素0；故A正确；
若M={x∈Q|x＜

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}，N={x∈Q|x≥

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}；则M没有最大元素，N也没有最小元素；故B正确；
若M={x∈Q|x≤0}，N={x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故D正确；
M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，故C不正确；
故选C．

点评：本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于基础题．