Question

2．已知f（x）=2^x的反函数为g（x）．h（x）=log₄（3x+1），
（1）若g（x+1）≥h（x），求x的取值范围D；
（2）令H（x）=h（x）-$\frac{1}{2}$g（x+1），当x∈D，求H（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）先求出反函数的解析式及定义域，把解析式代入不等式，利用对数函数的单调性和定义域解此不等式；
（2）先利用对数的运算性质化简H（x）的解析式，再结合对数函数的图象与性质，从而解决问题．

解答 解：由y=2^x得2^x=y，∴x=log₂y，
∴f^-1（x）=log₂x，（x＞0），
即g（x）=log₂x，（x＞0），
（1）由g（x+1）≥h（x），得log₂（x+1）≥log₄（3x+1）
∴log₄（x+1）²≥log₄（3x+1）
∴$\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\ 3x+1＞0\\（x+1）^{2}≥3x+1\end{array}\right.$，
解得x∈$（-\frac{1}{3}$，0]∪[1，+∞），
∴D=$（-\frac{1}{3}$，0]∪[1，+∞）；
（2）H（x）=h（x）-$\frac{1}{2}$g（x+1）=log₄（3x+1）-$\frac{1}{2}$log₂（x+1）=log₄$\frac{3x+1}{x+1}$=log₄（3-$\frac{2}{x+1}$），
∵x∈$（-\frac{1}{3}$，0]∪[1，+∞），
∴x+1∈（$\frac{2}{3}$，1]∪[2，+∞），
∴$\frac{2}{x+1}$∈（0，1]∪[2，3），
∴3-$\frac{2}{x+1}$∈（0，1]∪[2，3），
∴log₄（3-$\frac{2}{x+1}$）∈（-∞，0]∪[$\frac{1}{2}$，log₄3），
∴H（x）∈（-∞，0]∪[$\frac{1}{2}$，log₄3）．

点评 本题考查反函数的求法和函数的值域，属于对数函数的综合题，要会求一些简单函数的反函数，掌握有关对数函数的值域的求法，属中档题．