Question

7．如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G分别在棱AB，BC，CD上（与顶点不重合）．
（1）若AC∥平面EFG，且BD∥平面EFG，$\frac{BE}{AE}=\frac{3}{4}$，求$\frac{FG}{BD}$；
（2）若E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点，试分析直线AC，BD与平面EFG的关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）利用线面平行的性质定理、平行线分线段成比例定理即可得出答案；
（2）根据三角形中位线定理和线面平行的判定定理，可得直线AC，BD与平面EFG均平行．

解答 解：（1）∵AC∥面EFG，BD∥面EFG，
∴EF∥AC，BD∥FG．
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{3}{4}$=$\frac{BF}{FC}$，
∴$\frac{FG}{BD}$=$\frac{FC}{BC}$=$\frac{FC}{FC+BF}$=$\frac{4}{7}$．
（2）若E，F分别是棱AB，BC的中点，
则EF∥AC，
又∵EF?平面EFG，AC?平面EFG，
∴AC∥平面EFG，
同理可得：BD∥平面EFG．

点评 本题考查的知识点是直线与平面平行的性质定理，直线与平面平行的判定定理，难度中档．