Question

1．已知sinx-siny=$\frac{1}{3}$，cosx-cosy=$\frac{1}{2}$，求cos（x+y）

Answer 1

分析 利用三角函数的和差化积公式进行化简，然后利用三角函数的倍角公式进行求解即可．

解答 解：∵sinx-siny=$\frac{1}{3}$，
∴sinx-siny=2cos$\frac{x+y}{2}$sin$\frac{x-y}{2}$=$\frac{1}{3}$，①
∵cosx-cosy=$\frac{1}{2}$，
∴cosx-cosy=-2sin$\frac{x+y}{2}$sin$\frac{x-y}{2}$=$\frac{1}{2}$，②，
②÷①得-$\frac{sin\frac{x+y}{2}}{cos\frac{x+y}{2}}$=$\frac{3}{2}$，
即tan$\frac{x+y}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
则cos（x+y）=cos²$\frac{x+y}{2}$-sin²$\frac{x+y}{2}$=$\frac{co{s}^{2}（\frac{x+y}{2}）-si{n}^{2}（\frac{x+y}{2}）}{si{n}^{2}（\frac{x+y}{2}）+co{s}^{2}（\frac{x+y}{2}）}$
=$\frac{1-ta{n}^{2}（\frac{x+y}{2}）}{1+ta{n}^{2}（\frac{x+y}{2}）}$=$\frac{1-（-\frac{3}{2}）^{2}}{1+（-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{1-\frac{9}{4}}{1+\frac{9}{4}}$=$\frac{4-9}{4+9}$=-$\frac{5}{13}$．

点评 本题主要考查三角函数的化简和求解，利用三角函数的和差化积公式是解决本题的关键．