Question

（1）已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1及f（x+1）-f（x）=2x，求f（x）．
（2）若f（x）满足关系式f（x）+2f（

1

x

）=3x，求f（x）．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设出f（x）的表达式，得出f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=2x，得方程组，从而求出函数的解析式；（2）把x=

1

x

代入方程，得到方程组解出即可．

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1，得c=1，
∵f（x+1）-f（x）=[a（x+1）²+b（x+1）+c]-（ax²+bx+c）=2ax+a+b=2x，
∴

2a=2 a+b=0

，解得：

a=1 b=-1

，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）∵f（x）+2f（

1

x

）=3x①，
∴f（

1

x

）+2f（x）=

3

x

②，
①②组成方程组，解得：f（x）=

2

x

-x．

点评：本题考查了函数的解析式的常用求法，本题属于基础题．