Question

已知，函数。
（I）记求的表达式；
（II）是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（I）（II）

（1）当时，；当时，.
因此，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；
若，则在上单调递减，；
若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，从而；当时，；当时，，综上所诉，；
（2）由（1）知，当时，在上单调递减，故不满足要求；当时，在上单调递减，在上单调递增. 若存在，使曲线在、两点处的切线相互垂直，则，且，即，亦即*；由得，故*成立等价于集合与集合的交集非空；因为，所以当且仅当，即时，，综上所诉a的取值范围是