Question

举世瞩目的巴西足球世界杯将于2014年6月在巴西举行，这是四年一度的足球盛宴，是全世界足球迷的节日．在每场比赛之前，世界杯组委会都会指派裁判员进行执法．在某场比赛前，有10名裁判可供选择，其中欧洲裁判3人，亚洲裁判4人，美洲裁判3人．若组委会要从这10名裁判中任选3人执法本次比赛．求：
（1）选出的欧洲裁判人数多于亚洲裁判人数的概率；
（2）选出的3人中，欧洲裁判人数X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列,归纳推理

专题：概率与统计

分析：（1）设“选出的3名裁判中欧洲裁判人数多于亚洲裁判人数”为事件A，“恰好选出1名欧洲裁判和2名美洲裁判”为事件A₁，“恰好选出2名欧洲裁判”为事件A₂，“恰好选出3名欧洲裁判”为事件A₃，由于A₁，A₂，A₃彼此互斥，且A=A₁∪A₂∪A₃，由此能求出选出的欧洲裁判人数多于亚洲裁判人数的概率．
（Ⅱ）从10人中任选3人，其中恰有k名欧洲裁判的概率为P（X=k）=

C k 3 C 3-k 7

C 3 10

，k=0，1，2，3，由此能求出欧洲裁判人数X的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）设“选出的3名裁判中欧洲裁判人数多于亚洲裁判人数”为事件A，
“恰好选出1名欧洲裁判和2名美洲裁判”为事件A₁，
“恰好选出2名欧洲裁判”为事件A₂，
“恰好选出3名欧洲裁判”为事件A₃，
由于A₁，A₂，A₃彼此互斥，且A=A₁∪A₂∪A₃，
而P（A₁）=

C 1 3 C 2 3

C 3 10

=

3

40

，
P（A₂）=

C 2 3 C 1 7

C 3 10

=

7

40

，
P（A₃）=

C 3 3 C 0 7

C 3 10

=

1

120

，
∴选出的欧洲裁判人数多于亚洲裁判人数的概率：
P（A）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）=

3

40

+

7

40

+

1

120

=

31

120

．
（Ⅱ）解：∵从10名裁判中任选3人的结果为

C

3 10

，
从10名裁判中任取3人，其中恰有k名欧洲裁判的结果数为

C

k 3

C

3-k 7

，
∴从10人中任选3人，其中恰有k名欧洲裁判的概率为P（X=k）=

C k 3 C 3-k 7

C 3 10

，k=0，1，2，3，
P（X=0）=

C 3 7

C 3 10

=

7

24

，
P（X=1）=

C 1 3 C 2 7

C 3 10

=

21

40

，
P（X=2）=

C 2 3 C 1 7

C 3 10

=

7

40

，
P（X=3）=

C 3 3 C 0 7

C 3 10

=

1

120

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	7 24	21 40	7 40	1 120

EX=0×

7

24

+1×

21

40

+2×

7

40

+3×

1

120

=

9

10

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．