Question

4．已知关于x的方程为x²+mx+n²=0，
（Ⅰ）若m=1，n∈[-1，1]，求方程有实数根的概率．
（Ⅱ）若m∈[-1，1]，n∈[-1，1]，求方程有实数根的概率．
（Ⅲ）在区间[0，1]上任取两个数m和n，利用随机数模拟的方法近似计算关于x的方程x²+mx+n²=0有实数根的概率，请写出你的试验方法．

Answer 1

分析 （Ⅰ）找出满足条件的m，n的范围，利用区间长度比求概率；
（Ⅱ）求出满足条件的m，n的关系式，计算单元区域的面积，利用面积比求概率；
（Ⅲ）利用随机数模拟的方法，结合满足条件的随机次数，利用频率f=$\frac{{N}_{1}}{N}$，得出概率的近似值．

解答 解：（Ⅰ）m=1，方程x²+x+n²=0有实数根等价于△=1-4n²≥0即$-\frac{1}{2}$≤n≤$\frac{1}{2}$，…（1分）
由几何概型概率公式得方程有解的概率为P=$\frac{\frac{1}{2}-（-\frac{1}{2}）}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$．…（3分）
（Ⅱ）方程x²+mx+n²=0有实数根等价于△=m²-4n²≥0．即$\left\{\begin{array}{l}{m+2n≥0}\\{m-2n≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m+2n≤0}\\{m-2n≤0}\end{array}\right.$．
设事件A={方程有实根}，则A构成的区域面积为$2×\frac{1}{2}×1×1$=1
…（4分）
（m，n）可看成是平面内的点，试验的所有结果所构成的区域为Ω={（m，n）|-1≤m≤1，-1≤n≤1}，
这是一个边长为2的正方形区域，面积为4，…（6分）
所以由几何概性概率告诉的关于x的方程x²+mx+n²=0有实数根的概率p=$\frac{{S}_{A}}{{S}_{Ω}}=\frac{1}{4}$．…（9分）
（Ⅲ）第一步：利用计算器或者计算机产生两组0到1之间的随机数：m=RAND，n=RAND；
第二步：统计试验的总次数N和满足条件“m²-4n²≥0”的次数N₁；
第三步：计算频率f=$\frac{{N}_{1}}{N}$，得出概率的近似值为f=$\frac{{N}_{1}}{N}$．…（12分）

点评 本题考查了几何概型的概率求法；关键是正确选择几何测度，利用公式求概率．