Question

13．已知$\overrightarrow{a}$=（2$\sqrt{3}$sinx，sinx+cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，sinx-cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b²+a²-c²=ab，若f（A）-m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，化简函数，利用正弦函数的单调递减区间，求函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）由已知利用余弦定理可求cosC，由范围C∈（0，π），可求C的值，由题意2sin（2A-$\frac{π}{6}$）＞m恒成立，由A∈（0，$\frac{2π}{3}$），可求sin（2A-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，进而可得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=（2$\sqrt{3}$sinx，sinx+cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，sinx-cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+sin²x-cos²x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∵令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递减区间为：[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅱ）∵b²+a²-c²=ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，由C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{3}$，
∵f（A）-m=2sin（2A-$\frac{π}{6}$）-m＞0恒成立，即：2sin（2A-$\frac{π}{6}$）＞m恒成立，
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，可得：m≤-1．

点评 本题考查向量的数量积公式、辅助角公式，考查三角函数的图象和性质，正确化简函数是解题的关键，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．