Question

已知实数函数（为自然对数的底数）．
（Ⅰ)求函数的单调区间及最小值；
（Ⅱ）若≥对任意的恒成立，求实数的值；
（Ⅲ）证明：

Answer 1

（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为，；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析

试题分析：（Ⅰ）利用导数分析函数的单调性，由得出函数单调递减区间为，单调递增区间为，从而；（Ⅱ）先由（Ⅰ）中时的单调性可知，即，构造函数，由导函数分析可得在上增，在上递减，则，由对任意的恒成立，故，得；（Ⅲ）先由（Ⅱ），即，由于，从 而由放缩和裂项求和可得：
 .
试题解析：（I）当，
由， 得单调增区间为；
由，得单调减区间为 ，                       2分
由上可知                           4分
（II）若对恒成立，即，
由（I）知问题可转化为对恒成立 ．       6分
令 ，  ，
在上单调递增，在上单调递减，
∴．
即 ， ∴ ．                   8分
由图象与轴有唯一公共点,知所求的值为1．   9分
（III）证明：由（II）知，  则在上恒成立．
又，                      11分

                        12分
．14分