Question

10．在等比数列{a_n}中，a_n=8a_n-3（n≥4，且n∈N^*）．且4a₁，${{a}_{2}}^{2}$，a₃成等差数列
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b₁=1，b_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2}$（n≥2，且n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用等比数列的通项公式和等差数列性质，列出方程组，求出首项和公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b₁=1，b_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2}$=$\frac{{2}^{n}}{8}$，（n≥2，且n∈N^*），利用分组求和法和等比数列前n项和的性质能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵等比数列{a_n}中，a_n=8a_n-3（n≥4，且n∈N^*），且4a₁，${{a}_{2}}^{2}$，a₃成等差数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{n-1}=8{a}_{1}{q}^{n-4}}\\{2（{a}_{1}q）^{2}=4{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，q=2，
∴${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$=2^n-1．
（2）∵b₁=1，b_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2}$=$\frac{{2}^{n-2}}{2}$=2^n-3=$\frac{{2}^{n}}{8}$，（n≥2，且n∈N^*），
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=1+$\frac{1}{8}（{2}^{2}+{2}^{3}+{2}^{4}+…+{2}^{n}）$=1+$\frac{1}{8}$×$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$=2^n-2+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质及分组求和法的合理运用．