Question

19．已知函数f（x）=x²-（a+1）x-4（a+5），g（x）=ax²-（3a+1）x+3，其中a＜0．若存在正整数m、n，当x₀∈（m，n）时，有f（x₀）＜0，g（x₀）＞0同时成立，则m+n的值为（　　）

• A． 5
• B． 7
• C． 9
• D． 7或8或9

Answer 1

分析 分别求解f（x）＜0，g（x）＜0，再求含正整数的交集，由题意可得存在正整数m、n，x₀∈（m，n），可得（m，n）⊆（3，a+5），由g（0）＞0，g（a+5）＜0，可得a的范围，进而得到m，n的范围，可得m=3，n=4，即可得到答案．

解答 解：令f（x）＜0，即x²-（a+1）x-4（a+5）＜0，
解得-4＜x＜a+5，①
即有a+5＞0，解得a＞-5；
令g（x）＜0，即ax²-（3a+1）x+3＜0，
解得x＞3或x＜$\frac{1}{a}$，②
由题意，存在正整数m、n，x₀∈（m，n），
由①②可得（m，n）⊆（3，a+5），
当a＜0时，因为g（0）=3＞0，
故只能g（a+5）=a（a+5）²-（3a+1）（a+5）+3＜0，
解得-2＜a＜0，或a＜-$\frac{5+\sqrt{29}}{2}$，
又因为a＞-5，所以-2＜a＜0，
此时n≤a+5＜5，
∵正整数m，n，∴3≤m＜n≤4，
则m=3，n=4，即m+n=7．
故选B．

点评 本题考查了函数的零点，不等式的求解，考查集合的包含关系，属于中档题．