Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA=AB=AD=1．
（Ⅰ）请你在下面四个选项中选择2个作为条件，使得能推出平面PCD⊥平面PAD，并证明．
①PB=PD=；       ②四边形ABCD是正方形；
③PA⊥平面ABCD；    ④平面PAB⊥平面ABCD．
（Ⅱ）在（Ⅰ）选择的条件下，在四棱锥P-ABCD的表面上任取一个点，求这个点在四棱锥P-ABCD侧面内的概率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）可选择①②作为条件．由勾股定理证明PA⊥AD，PA⊥AB，从而证明 PA⊥平面ABCD，由正方形的性质得AD⊥CD，故有CD⊥平面PAD．
（Ⅱ）先求出四棱锥的4个侧面的面积之和，再求出底面的面积，用侧面的面积之和除以全面积（侧面积的和加上底面面积），即得这个点在四棱锥P-ABCD侧面内的概率．
解答：解：（Ⅰ）选择①②作为条件．（1分）
证明如下：∵PA=AD=1，PD=，∴PD²=PA²+AD² ，∴∠PAD=90°，即PA⊥AD，
同理，可证PA⊥AB，∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD（4分）
∴CD⊥平面PAD（5分），又CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD．（6分）
（Ⅱ）因为（Ⅰ）中已经证明CD⊥平面PAD，同理有BC⊥面PAB，
S_△PAB=S_△PAD=×PA×AD=×1×1=，S_△PCB=S_△PCD=×PD×CD=××1=，
S_ABCD =AB² =1（10分）∴在四棱锥P-ABCD的表面上任取一个点，
这个点在四棱锥P-ABCD侧面内的概率是
=．（12分）
点评：本题考查证明两个平面垂直的方法及面面垂直的性质，棱锥的侧面积与全面积的求法，以及几何概型．