Question

16．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，直线y=$\frac{a}{e}$x（a≠0）为曲线y=f（x）的一条切线．
（1）求实数a的值；
（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x-$\frac{1}{x}$}（x＞0），若函数h（x）=g（x）-bx²为增函数，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据直线y=$\frac{a}{e}$x（a≠0）为曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；
（2）记F（x）=f（x）-（x-$\frac{1}{x}$），x＞0．考察y=F（x）的符号，得出g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{x}，0＜x≤{x}_{0}}\\{\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}，x＞{x}_{0}}\end{array}\right.$，再分类讨论，利用导数的正负，即可得出结论．

解答 解：（1）设切点坐标为（x₀，y₀），f′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{e}{x}_{0}=\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{e}^{{x}_{0}}}}\\{\frac{a}{e}=\frac{{x}_{0}（2-{x}_{0}）}{{e}^{{x}_{0}}}}\end{array}\right.$，∴a=1；
（2）记F（x）=f（x）-（x-$\frac{1}{x}$），x＞0．下面考察y=F（x）的符号．
求导F′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
x≥2，F′（x）＜0，0＜x＜2，x（2-x）≤1，∴F′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$≤-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
∴F（x）在（0，+∞）上单调递减，
∵F（1）=$\frac{1}{e}$＞0，F（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$-$\frac{3}{2}$＜0，
∴F（x）在[1，2]上有唯一零点x₀，
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{x}，0＜x≤{x}_{0}}\\{\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}，x＞{x}_{0}}\end{array}\right.$，
∴h（x）=g（x）-bx²=$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{x}-b{x}^{2}，0＜x≤{x}_{0}}\\{\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}-b{x}^{2}，x＞{x}_{0}}\end{array}\right.$，
x＞x₀，h′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$-2bx≥0恒成立，∴2b≤$\frac{2-x}{{e}^{x}}$，
设u（x）=$\frac{2-x}{{e}^{x}}$，u′（x）=$\frac{x-3}{{e}^{x}}$，函数在（x₀，3）上单调递减，（3，+∞）上单调递增，
∴u（x）_min=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，∴2b≤-$\frac{1}{{e}^{2}}$，∴b≤-$\frac{1}{2{e}^{2}}$；
0＜x≤x₀时，h′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2bx，b≤0，h′（x）＞0在（0，x₀）上恒成立，
综上所述，b≤-$\frac{1}{2{e}^{2}}$时，函数h（x）=g（x）-bx²为增函数．

点评 本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．