Question

已知函数（为自然对数的底数）.
（1）求函数在上的单调区间；
（2）设函数，是否存在区间，使得当时函数的值域为，若存在求出，若不存在说明理由.

Answer 1

（1）时，为单调增区间；时，为单调递减区间，为单调递增区间；时，单调递减区间为：， 单调递增区间为：和；时，单调递增区间为：.
（2）不存在.证明详见解析.

试题分析：（1）先求导，然后根据导数的性质：的解集是区间，的解集是减区间求解即可.
(2)先求导可得，假设存在假设存在区间，使得当时函数的值域为，即，所以是，[m,n]为增区间，
由g（m）和g（n）的值可得方程有两个大于的相异实根，再构造函数，求，根据导函数的性质，求函数单调区间和极值，证明h（x）在只存在一个零点即可.
试题解析：（1）    1分
①当时，由恒成立，在上单调递增    2分
②当时，解得或
（ⅰ）若，则
在上单调递减，在上单调递增    4分
（ⅱ）若，则 
在和上单调递增，
在上单调递减    6分
综上所述：当时，的单调递减区间为：，
单调递增区间为：；
当时，的单调递减区间为：
单调递增区间为：和；
当时，单调递增区间为：.    7分
(2)由题意，    8分
假设存在区间，使得当时函数的值域为，即，
当时，在区间单调递增   9分
，即方程有两个大于的相异实根    10分
设，
    11分
设
，，在上单调增，又，即存在唯一的使.   12分
当时，，为减函数；当时，，为增函数；在处取到极小值.又   13分
在只存在一个零点，与方程有两个大于的相异实根相矛盾，所以假设不成立，所以不存在符合题意.          14分