Question

已知函数f（x）=lnx－ax（a>0）．
（I）当a=2时，求f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+），都有f（x）<0，求a的取值范围．

Answer 1

（I）单调递增区间为，递减区间为；极大值为，无极小值；
（Ⅱ）

试题分析：（I）先求导再讨论其单调性，根据单调性可求其极值。（Ⅱ）先求导再讨论其单调性，根据单调性可求其最值。对于任意的x∈（0，+），都有f（x）<0，即。
试题解析：（I）当时，，所以，
当时，，当时，，
所以函数的单调递增区间为，递减区间为。
所以当时函数取得极大值为，无极小值。
（Ⅱ）因为又，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减。
所以当时，函数取得最大值，
因为对于任意的x∈（0，+），都有f（x）<0，所以，即，可得，
所以a的取值范围为。