Question

已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）记函数的最小值为，求证：.

Answer 1

（Ⅰ）的单调递增区间为；的单调递减区间为；
（Ⅱ）详见解析

试题分析：（Ⅰ）先求导，再令导数等于0，讨论导数的正负得函数的增减区间。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值.令还是先求导再令导数等于0，讨论导数的正负得函数的单调区间，从而可求得此函数的最值。
试题解析：解：
的定义域为.
.            2分
令，解得或（舍）.
当在内变化时，的变化情况如下：

由上表知，的单调递增区间为；的单调递减区间为.
5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值.         6分
令，则.
令，解得.                                  8分
当在内变化时，的变化情况如下：

所以函数的最大值为，即.
因为，所以.                    11分