已知椭圆E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.右焦点为F(1.0)．(1)求椭圆E的标准方程,(2)设点O为坐标原点.过点F作直线l与椭圆E交于M.N两点.若$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$.求直线l的方程� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦点为F（1，0）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，求直线l的方程．

分析（1）根据椭圆的几何性质，求出a、b的值即可；
（2）讨论直线MN的斜率是否存在，设出MN的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，求出直线的斜率k，即可求出直线l的方程．

解答解：（1）依题意椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦点为F（1，0）．得，c=1，
∴$\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得a=$\sqrt{2}$，则b=1；…（2分）
∴椭圆E的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；…（4分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，不符题意；…（5分）
②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x-1）；…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，消去y得：[1+2k²]x²-4k²x+2（k²-1）=0，…（8分）
∴x₁+x₂=$\frac{4{x}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$；…（10分）
∴y₁•y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=$\frac{-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$；
又∵$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$；
∴x₁•x₂+y₁y₂=$\frac{{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$=0，
解得k=±$\sqrt{2}$，…（13分）
∴直线l的方程为：y=±$\sqrt{2}$（x-1）．…（14分）